PROBLEMA 3.
Un día comenzó a nevar en forma intensa y constante. Un quitanieves comenzó a medio día, y avanzó 2 millas la primera hora y una milla la segunda hora.
¿A qué hora comenzó a nevar?

PLANTEAMIENTO

Una máquina Quitanieves desplaza un volumen de nieve por hora igual a C(m/hora), barriendo una anchura (L)(m) de la carretera.
Su velocidad al avanzar por la carretera varía, según la cantidad de nieve precipitada, para mantener C constante en el tiempo.
Neva regularmente, de manera que la altura de nieve crece en la carretera a razón de V(m/hora). Después de empezar a nevar, la máquina inicia la limpieza de la carretera en t=0(horas).
Para poder calcular a que hora empezó a nevar, primero hay que plantear la Ecuación Diferencial que satisface la longitud de la carretera x(t)(Km) limpiada por la máquina.

Solución:

Observemos en primer lugar que t=0 es el instante en el que la máquina empieza a funcionar, por lo tanto la hora que empezó a nevar sera t0 anterior.

Si h(t) denota la altura de nieve en la carretera en el instante t y hi la altura de la nieve inicial, cuando la máquina empieza a funcionar teniendo en cuenta que neva regularmente con constante V tenemos

h(t)=hi+Vt

Además como la máquina debe de mantener el volumen de nieve quitado constante debe verificarse

Es la Ecuación Diferencial que verifican x(t). La condición inicial es x(0)=0 para resolver la ecuación hasta integrar.Esta es la Ecuación General.

donde: w=C/LV


b) Tenemos ahora 2 datos más para poder hallar las constantes que aparecen en la solución anterior,
x(1)=2 y x(2)=3, por tanto si llamamos alfa=V/hi tenemos el siguiente sistema de ecuaciones.Sustituimos las condiciones de valor Inicial en la ecuación General y nos queda,

Igualando las dos ecuaciones eso nos da como resultado que,
Elevando al cuadrado y resolviendo la última ecuación tenemos tres valores para alfa.


Pero como alfa=V/hi, solo tienen sentido el valor de alfa 2.
Teniendo en cuenta que las horas del reloj se cuentan modulo 12, tenemos que

Respuestas: empezó a nevar a las 11:38 Horas .

PROBLEMA 1.
Cuando pasa un rayo vertical de luz por un medio transparente, la razón con la que decrece su intensidad I es proporcional a I(t), donde t representa el espesor (en pies) del medio. En agua limpia de mar, la intensidad a 3 pies es 25% de la intensidad inicial I0 del rayo incidente. ¿Cuál es la intensidad del rayo a 15 pies debajo de la superficie?

t: Espesor de un medio transparente (pies)
I: Intensidad

Solución

• Integrando

• Aplicando el exponencial

Llamada Ecuación General.

• El valor inicial es : I(0)=I0

Si sustituimos el valor inicial en la ecuación general, encontraremos la ecuación particular

• Agregando la condición adicional.

I(3)= (0.25)I0

• Y la función queda de la siguiente forma:

• en otras palabras:

PROBLEMA 2

Un marcapasos cardiaco (Fig. 3.24), está formado por una batería, un capacitor y el corazón, que funciona a modo de resistor. Cuando el conmutador S está en P, el capacitor se carga; cuando está en Q, se descarga y manda un estímulo eléctrico al corazón.

En este intervalo, el voltaje E que se aplica al corazón está determinado por


en donde R y C son constantes. Determine E(t), cuando E(t)=0. (Naturalmente, la abertura y cierre del interruptor son periódicas, para estimular los latidos naturales.)

Solución:

• Por Separación de Variables.

• Por Problema de Valor Inicial. E(t)=0